Программный комплекс PTest Plus!

Определение1. Функция f называется аналитической в точке x₀, если в некоторой окрестности этой точки она разлагается в степенной ряд:

        (1)

Естественной областью определения аналитической функции будет радиус сходимости ряда (1), т.е. это некоторый шар B[x₀;R].

Напомним, что радиус сходимости степенного ряда (1) в произвольном пространстве с нормой  | . | вычисляется по формуле

  .                        (2)

Замечание 1. Как известно, в  Q_p  норма имеет вид p^g, где geZ, поэтому радиус сходимости R(f)= p^g,  если   p^g<r(f)< p^g+1.   

Если r(f)= p^g , требуются дополнительные исследования.

Заметим, что аналитическая функция  в  Q_p  не имеет аналитического продолжения (в отличие от аналитических функций комплексного переменного). Действительно, если мы разложим функцию f в точке х₁  и R₁  - новый радиус сходимости, то исходя из максимальности R и того, что  в  Q_p   шары либо не пересекаются, либо вкладываются друг в друга, имеем B[x₁;R₁]B[x₀;R], где равенство возможно, если R₁=R.

Откуда

.

Таким образом, коэффициенты нового разложения b_n имеют ту же асимптотику, что и a_n.

Утверждение 1. Множество аналитических функций в круге B[x₀;R] образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.