Программный комплекс PTest Plus!

Определение2. Функция f : X  Q_p  называется непрерывно диф-ференцируемой, если существует непрерывная функция F : X  X  Q_p  такая, что

f(x) - f(y) = F(x, y) (x-y).

Производной f называется функция .

Определение3.Функция f : X  Q_p  называется n раз непрерывно дифференцируемой, если она непрерывно дифференцируема n-1 раз и для n-1-ой производной существует непрерывная функция F : X  X  Q_p  такая, что

f^(n-1)(x) – f^(n-1)(y) = F(x, y) (x-y).

Утверждение 2. Если f аналитическая в круге B[x₀;R], то feСⁿ (B[x₀;R]) " nÎN.

Доказательство. Не ограничивая общности можно считать, что x₀=0.

При n=1 имеем

.

Т.к.  при k®¥ (ввиду сходимости исходного ряда в Q_p его общий член стремится к нулю, т.е. =|a_k x^k|_p®0 при k®¥), то F непрерывна как равномерный предел непрерывных функций, что и означает непрерывную дифференцируемость исходной функции.

Пусть утверждение верно для n-1-ой производной.

Докажем для производной порядка n.