Программный комплекс PTest Plus!

Если f – бесконечно дифференцируемая функция действительного переменного, то множество всех ее нулей может быть устроено весьма сложно.

Классическим примером служит функция

Множеством ее нулей является луч (-,0]. Однако эта функция не является аналитической в окрестности нуля (напомним, что бесконечная дифференцируемость в R не является достаточным условием аналитичности).

 Поведение нулей аналитической функции описывает следующее

Утверждение 5. Если f аналитична и отлична от нуля на некотором множестве, то кратности всех ее нулей, лежащих в этом множестве, являются натуральными числами.

Доказательство. Пусть x₀ – нуль функции f.

Разложим f по степеням (x- x₀)

f(x)= a₀ + a₁(x-x₀) + a₂ (x-x₀)² + ... + a_n (x-x₀)ⁿ + ...               (12)

Тогда a₀=0, а так как f не является тождественным нулем, то среди коэффициентов разложения есть отличные от 0. Пусть a₀= a₁=…= a_n-1, а a_n0. Тогда ряд (12) преобразуется к виду

f(x)= a_n(x-x₀)ⁿ + a_n+1 (x-x₀)ⁿ⁺¹ + ...= (x-x₀)ⁿ g(x),

где g(x)= a_n + a_n+1(x-x₀) + a_n+2 (x-x₀)² + ...

Заметим, что g(x₀)= a_n0, что и доказывает требуемое.