Программный комплекс PTest Plus!

В теории аналитических функций комплексного переменного максимум модуля аналитической функции не может достигаться ни в одной внутренней точке области сходимости (если эта функция не является константой). А как в Q_p?

Исследуем следующую функцию

 

cos(x)=                   (7)

При  p>3    . Тогда R(cos(x))=p^-1.

При  p=3   r(cos(x))=3^-1.   Тогда  на  границе  круга  сходимости  (при

| x|₃=3^-1) норма общего члена ряда (7) имеет вид:

   при n®¥, т.е. ряд (7) сходится и значит R(cos(x))=3^-1.

При  p=2  r(cos(x))=2^-2. На границе круга сходимости (при | x|₂=2^-2) норма общего члена ряда (7) имеет вид:

   при n®¥, т.е. R(cos(x))=2^-2.

Таким образом, множество сходимости ряда (7) имеет вид:

E=

 

Утверждение 4.  " xÎ E имеет место равенство |cos(x)|_p=1.

 

Доказательство. Сначала докажем следующее равенство " xÎ E

|cos(x)-1|_p=|x|²_p.         (8)

Пусть р2, xÎ E. Тогда

 

,

.

Из последних двух неравенств следует